Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales: el método de resolver

Los sistemas de ecuaciones han sido ampliamente utilizados enmodelado matemático económico de varios procesos. Por ejemplo, al resolver tareas de gestión y planificación de producción, rutas logísticas (tarea de transporte) o colocación de equipos.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan no solo en el campo de las matemáticas, sino también en física, química y biología, para resolver problemas de búsqueda del tamaño de la población.

Un sistema de ecuaciones lineales se llama dos o másEcuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución general. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o demuestran que la secuencia no existe.

La ecuación lineal

Las ecuaciones de la forma ax + by = c se llaman lineales. La notación x, y es desconocida, cuyo valor debe encontrarse, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
La solución de la ecuación mediante la construcción de su gráfico tendrá la forma de una línea recta, todos sus puntos son una solución del polinomio.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.

F1 (x, y) = 0 y F2 (x, y) = 0, donde F1,2 son funciones, y (x, y) son variables de función.

Resuelve el sistema de ecuaciones - esto significa encontrar los valores (x, y) a los que el sistema convierte en la igualdad correcta o establecer que no hay valores adecuados de xey.

Un par de valores (x, y), escritos en forma de coordenadas de un punto, se llama solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Si los sistemas tienen una solución común o no existen soluciones, se llaman equivalentes.

Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si el derecho después del signo de la parte de "igualdad" tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema no es homogéneo.

El número de variables puede ser mucho mayor que dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres variables o más.

Frente a los sistemas de escolares sugieren,que el número de ecuaciones necesariamente debe coincidir con el número de incógnitas, pero esto no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables, puede haber tantas como quieran.

Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones

No hay un método analítico comúnsoluciones de tales sistemas, todos los métodos se basan en soluciones numéricas. En el curso escolar de matemáticas, se describen en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como el método gráfico y de matriz, la solución de Gauss.

La tarea principal en la enseñanza de métodos de resolución -es para enseñarle cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal es no memorizar el sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios de aplicar este o aquel método

Solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales 7La clase del programa escolar general es bastante simple y se explica en gran detalle. En cualquier matemática de libro de texto, esta sección recibe suficiente atención. La solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss y Kramer se estudia con más detalle en los primeros cursos de las instituciones de educación superior.

Solución de sistemas por sustitución

Las acciones del método de sustitución están dirigidas aexpresión del valor de una variable a través de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante, luego se lleva a la forma con una variable. La acción se repite según la cantidad de incógnitas en el sistema

Le damos una solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de la 7ma clase por el método de sustitución:

Como puede ver en el ejemplo, la variable x se expresóa través de F (X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. La solución de este ejemplo no causa dificultades y le permite obtener el valor de Y. El último paso es verificar los valores obtenidos.

Resuelve un ejemplo de un sistema de ecuaciones linealesla sustitución no siempre es posible. Las ecuaciones pueden ser complejas y la expresión de la variable a través del segundo desconocido será demasiado engorrosa para otros cálculos. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, la sustitución tampoco es aconsejable.

Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones no homogéneas lineales:

Solución mediante adición algebraica

Cuando se busca la solución de sistemas mediante el método de suma, se realizan la suma término por término y la multiplicación de ecuaciones por diferentes números. El objetivo final de las acciones matemáticas es una ecuación con una variable.

Para las aplicaciones de este método, la práctica es necesariay observación. Resolver el sistema de ecuaciones lineales mediante el método de suma para un número de variables de 3 o más no es fácil. La suma algebraica es conveniente cuando las fracciones y los decimales están presentes en las ecuaciones.

Algoritmo de solución:

1. Multiplica ambos lados de la ecuación por un cierto número. Como resultado de la operación aritmética, uno de los coeficientes para la variable debe ser igual a 1.
2. Finalmente, agregue la expresión resultante y encuentre una de las incógnitas.
3. Sustituya este valor en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.

El método de resolver mediante la introducción de una nueva variable

Se puede ingresar una nueva variable si en el sistema se requiere encontrar una solución para no más de dos ecuaciones, el número de incógnitas tampoco debe ser mayor a dos.

El método se usa para simplificar uno de losecuaciones, ingresando una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve con respecto a lo desconocido, y el valor obtenido se usa para determinar la variable inicial.

Se ve en el ejemplo que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema al trinomio cuadrático estándar. Resuelve el polinomio encontrando el discriminante.

Es necesario encontrar el valor del discriminante porfórmula conocida: D = b2 - 4 * a * c, donde D es el discriminante deseado, b, a, c son los multiplicadores polinomiales. En el ejemplo dado, a = 1, b = 16, c = 39, por lo tanto, D = 100. Si el discriminante es mayor que cero, entonces hay dos soluciones: t = -b ± √D / 2 * a, si el discriminante es menor que cero, entonces la solución es uno: x = -b / 2 * a.

La solución para los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de adición.

Un método visual para resolver sistemas

Adecuado para sistemas con 3 ecuaciones. El método consiste en trazar en el eje de coordenadas los gráficos de cada ecuación que ingresa al sistema. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas u serán la solución general del sistema.

El método gráfico tiene una serie de matices. Consideremos varios ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales de una manera visual.

Como se puede ver en el ejemplo, para cada línea rectaconstruidos dos puntos, los valores de la variable x se escogieron arbitrariamente: 0 y 3. Basándose en los valores de x, los valores encontrados para y: 3 y 0 puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) están marcados en el gráfico y el contacto con una línea de .

La acción debe repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de líneas es una solución del sistema.

En el siguiente ejemplo, necesitamos encontrar una solución gráfica para el sistema de ecuaciones lineales: 0.5x-y + 2 = 0 y 0.5x-y-1 = 0.

Como puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene una solución, porque los gráficos son paralelos y no se cruzan a lo largo de su longitud.

Los sistemas de los Ejemplos 2 y 3 son similares, pero conqueda claro que sus soluciones son diferentes. Debe recordarse que no siempre es posible decir si el sistema tiene una solución o no, siempre es necesario construir un cronograma.

Matrix y sus variantes

Las matrices se usan para registrar brevemente un sistema de ecuaciones lineales. La matriz se llama una tabla de un tipo especial, llena de números. Una matriz de la forma n * m tiene n-filas y m-columnas.

La matriz es cuadrada cuando el númerolas columnas y las filas son iguales entre sí. Un vector matricial es una matriz de una columna con un número infinito de filas. Una matriz con unos en una de las diagonales y otros elementos cero se llama matriz unitaria.

Una matriz inversa es una matriz, multiplicada por la cual la matriz original se convierte en una matriz única, tal matriz existe solo para la matriz cuadrada original.

Las reglas para transformar un sistema de ecuaciones en una matriz

Con respecto a los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y los términos libres de las ecuaciones se escriben como los números de la matriz, una ecuación es una fila de la matriz.

Se dice que una fila de una matriz no es cero si al menosun elemento de la cadena no es cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables es diferente, entonces es necesario escribir cero en el lugar del desconocido desconocido.

Las columnas de matriz deben coincidir estrictamentevariables. Esto significa que los coeficientes de la variable x pueden escribirse solo en una columna, por ejemplo, la primera, el coeficiente de la y desconocida está solo en la segunda columna.

Cuando la matriz se multiplica, todos los elementos de la matriz se multiplican consecutivamente por un número.

Las variantes de encontrar la matriz inversa

La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K^-1= 1 / | K |, donde K^-1 es el inverso de la matriz, y | K | determinante de la matriz. | K | no debe ser cero, entonces el sistema tiene una solución.

El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos, solo es necesario multiplicar los elementos diagonalmente. Para la variante "tres por tres", la fórmula | K | = a₁b₂c₃ + a₁b₃c₂ + a₃b₁c_{2 +} un₂b₃c₁ + a₂b₁c₃ + a₃b₂c₁. Puedes usar la fórmula, y puedesrecuerde que debe tomar un elemento de cada fila y cada columna para que el producto no repita la columna y el número de fila de los elementos.

Solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método de la matriz

Un método de matriz para buscar una solución permite reducir los registros engorrosos al resolver sistemas con una gran cantidad de variables y ecuaciones.

En el ejemplo a_nm - coeficientes de ecuaciones, matriz - vector x_n - variables, yb_n - miembros gratis.

Luego, necesitamos encontrar la matriz inversa y multiplicarla por la matriz original. Encontrar los valores de las variables en la matriz de unidades resultante es una tarea fácilmente ejecutable.

Solución de sistemas por el método de Gauss

En matemáticas superiores, se estudia el método de Gaussjunto con el método de Cramer, y el proceso de búsqueda de soluciones a los sistemas se llama método de solución de Gauss-Cramer. Estos métodos se usan para encontrar sistemas variables con una gran cantidad de ecuaciones lineales.

El método gaussiano es muy similar al uso de solucionessustituciones y adiciones algebraicas, pero más sistemáticas. En el curso escolar, el método de Gauss se usa para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es llevar el sistema a la forma de un trapecio invertido. Por medio de transformaciones y sustituciones algebraicas, el valor de una variable se encuentra en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, bueno, 3 y 4, respectivamente, con 3 y 4 variables.

Después de reducir el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución sucesiva de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.

En los libros de texto escolares del 7 ° grado, se describe un ejemplo de solución mediante el método de Gauss de la siguiente manera:

Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) dos ecuaciones 3x₃-2x₄= 11 y 3x₃+ 2x₄= 7. La solución de cualquiera de las ecuaciones permitirá conocer una de las variables x_n.

El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema es reemplazada por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.

El método gaussiano es difícil de percibir para los estudiantessecundaria, pero es una de las formas más interesantes para desarrollar la inteligencia de los niños que estudian en el marco del programa de estudio en profundidad en las clases de matemáticas y física.

Para simplificar, es costumbre escribir cálculos de la siguiente manera:

Los coeficientes de las ecuaciones y los términos libresse escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. La línea vertical separa el lado izquierdo de la ecuación de la derecha. Los números romanos denotan el número de ecuaciones en el sistema.

Primero, escribe la matriz de la cualtrabajo, luego todas las acciones llevadas a cabo con una de las líneas. La matriz obtenida se escribe después del signo "flecha" y continúa realizando las acciones algebraicas necesarias hasta que se logra el resultado.

Como resultado, se debe obtener una matriz en la cualuna de las diagonales es 1, y todos los demás coeficientes son cero, es decir, la matriz se reduce a una sola forma. No debemos olvidar realizar cálculos con los dígitos de ambos lados de la ecuación.

Este método de registro es menos engorroso y permite no distraerse mediante la enumeración de numerosas incógnitas.

Uso gratuito de cualquier método de soluciónrequerirá atención y cierta experiencia. No todos los métodos tienen una naturaleza aplicada. Algunas formas de encontrar soluciones son más preferibles en esa otra área de la actividad humana, mientras que otras existen con el propósito de entrenar.