¿Cuáles son los números racionales? ¿Qué son?

¿Cuáles son los números racionales? Los estudiantes sénior y los estudiantes de especialidades matemáticas, probablemente responderán fácilmente a esta pregunta. Pero aquellos que por profesión están lejos de esto, serán más difíciles. ¿Cómo es realmente?

La esencia y la designación

Por números racionales,que se puede representar como una fracción simple. Positivo, negativo y también cero también entran en este conjunto. El numerador de la fracción debe ser un número entero, y el denominador debe ser un número natural.

Este conjunto en matemáticas se denota como Q yse llama el "campo de los números racionales". Allí ingresan enteros enteros y naturales, indicados respectivamente como Z y N. El mismo conjunto Q ingresa al conjunto R. Es esta letra la que denota los llamados números reales o reales.

Introducción

Como ya se mencionó, los números racionales sonset, que incluye todos los valores enteros y fraccionarios. Se pueden presentar en diferentes formas. Primero, en forma de fracciones ordinarias: 5/7, 1/5, 11/15, etc. Por supuesto, los enteros también se pueden escribir en una forma similar: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, y así sucesivamente. En segundo lugar, otro tipo de representación es una fracción decimal con una parte fraccional finita: 0.01, -15.001006, etc. Esta es quizás una de las formas más frecuentes.

Pero también hay un tercero, una fracción periódica. Este tipo no es muy común, pero aún se usa. Por ejemplo, la fracción 10/3 se puede escribir como 3,33333 ... o 3, (3). En este caso, las diferentes representaciones se considerarán números análogos. Se llamarán fracciones equivalentes, por ejemplo 3/5 y 6/10. Parece que quedó claro qué son los números racionales. Pero, ¿por qué usar este término para su designación?

Origen del nombre

La palabra "racional" en ruso modernoen el caso general tiene un significado ligeramente diferente. Es más bien "razonable", "deliberado". Pero los términos matemáticos están cerca del significado directo de esta palabra prestada. En latín, "relación" es una "relación", "fracción" o "división". Por lo tanto, el nombre refleja la esencia de lo que son los números racionales. Sin embargo, el segundo valor

no muy lejos de la verdad

Acciones con ellos

Al resolver problemas matemáticos, constantementeencontramos números racionales sin saberlo nosotros mismos. Y tienen una serie de propiedades interesantes. Todos ellos provienen de la definición del conjunto o de las acciones.

Primero, los números racionales tienen la propiedadrelaciones de orden. Esto significa que entre los dos números solo puede existir una relación: son iguales entre sí o uno es mayor o menor que el otro. E .:

cualquiera a = b; cualquiera a> b, cualquiera a <b.

Además, esta propiedad también implica la transitividad de la relación. Eso es, si un más de b, b más de c, entonces un más de c. En el lenguaje de las matemáticas, se ve así:

(a> b) ^ (b> c) => (a> c).

En segundo lugar, hay operaciones aritméticas connúmeros racionales, es decir, suma, resta, división y, por supuesto, multiplicación. En este proceso, también se pueden distinguir varias propiedades en el proceso de transformación.

• a + b = b + a (cambio de lugar de términos, conmutatividad);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asociatividad);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab) c = a (bc) (distributividad);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (aquí, a no es 0);
• (a + b) c = ac + ab;
• (a> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).

Cuando se trata de ordinario, y nodecimales, fracciones o enteros, las acciones con ellos pueden causar ciertas dificultades. Por lo tanto, la suma y la resta solo son posibles si los denominadores son iguales. Si inicialmente son diferentes, deberías encontrar un campo común, usando la multiplicación de la fracción completa por ciertos números. La comparación también suele ser posible solo si se cumple esta condición.

División y multiplicación de fracciones ordinariasse hacen de acuerdo con reglas bastante simples. La reducción al denominador común no es necesaria. Los numeradores y los denominadores se multiplican por separado, mientras que en el proceso de realizar la acción, si es posible, la fracción se debe minimizar y simplificar tanto como sea posible.

En cuanto a la división, esta acción es similar a la primera con una pequeña diferencia. Para la segunda fracción, encuentra la inversa, eso es

"vuélvete". Por lo tanto, el numerador de la primera fracción deberá multiplicarse con el segundo denominador y viceversa.

Finalmente, otra propiedad inherente a lo racionalnúmeros, se llama el axioma de Arquímedes. A menudo en la literatura también existe el nombre de "principio". Es válido para todo el conjunto de números reales, pero no en todas partes. Por lo tanto, este principio no se aplica a ciertos conjuntos de funciones racionales. En esencia, este axioma significa que si hay dos cantidades a y b, siempre puede tomar una cantidad suficiente de a para superar b.

Ámbito de aplicación

Entonces, aquellos que aprendieron o recordaron lo que esnúmeros racionales, queda claro que se usan en todas partes: en contabilidad, economía, estadística, física, química y otras ciencias. Naturalmente, también tienen un lugar en las matemáticas. No siempre sabiendo que estamos tratando con ellos, constantemente usamos números racionales. Aún los niños pequeños, que aprenden a contar elementos, cortar una manzana en pedazos o realizar otras acciones simples, los enfrentan. Literalmente nos rodean. Sin embargo, no son suficientes para resolver algunos problemas, en particular, con el ejemplo del teorema de Pitágoras se puede entender la necesidad de introducir el concepto de números irracionales.

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